Insiemi numerici

Alcuni insiemi sono detti numerici poiché sono costituiti da numeri.
Di seguito esamineremo i vari tipi di insiemi numerici, i loro aspetti e le relative operazioni interne (o ben definite).

Def: Dato un insieme numerico, un’operazione si dice interna o ben definita nel dato insieme quando il risultato di tale operazione, tra due elementi qualsiasi dell’insieme, appartiene all’insieme stesso, cioè rimane nell’insieme dato.

Gli insiemi numerici sono:

• N         Insieme dei numeri naturali
• Z         Insieme dei numeri relativi
• Q        Insieme dei numeri razionali
• R         Insieme dei numeri reali
• C         Insieme dei numeri complessi

Insieme N dei numeri naturali

Generalmente per numeri naturali intendiamo i numeri interi positivi (1,2,3,…,n). Sono quei numeri attraverso i quali i bambini imparano a contare in quanto sono semplici e incontrano le prime esigenze che i bambini nutrono, cioè quella di quantificare e ordinare gli oggetti.

Il simbolo utilizzato per indicare l’insieme dei numeri naturali è N. Normalmente, si assume che l’insieme dei numeri naturali contenga anche lo zero ma, per evitare ogni ambiguità, spesso si usa un apice o un pedice per rafforzarne il significato.

Indichiamo cioè con:

·        N₀ l’insieme dei numeri naturali che contiene lo zero;

·        N^* l’insieme dei numeri naturali che non contiene lo zero.

Per i numeri naturali, le operazioni interne o ben definite sono l’addizione e la moltiplicazione:

Infatti, se applichiamo l’addizione o la moltiplicazione su qualsiasi coppia di numeri naturali, il risultato sarà un numero naturale.

Al contrario, la sottrazione non è un’operazione interna dei numeri naturali, infatti non sempre se facciamo la sottrazione di due numeri naturali otteniamo un numero naturale, ad esempio la sottrazione “3-5” non ha come risultato un numero naturale.

Insieme Z dei numeri relativi

I numeri relativi, detti anche numeri interi, sono nati per dare un risultato a qualsiasi sottrazione dei numeri naturali, infatti sono anche definiti come l’insieme dei risultati delle sottrazioni dei numeri naturali.

Il simbolo utilizzato per indicare l’insieme dei numeri relativi è Z, che deriva dal tedesco “Zahi” che vuol dire numero. L’insieme è formato dall’unione dei numeri naturali (interi positivi) e dei numeri negativi.

Rappresentazione grafica di Z:

Da qui si intuisce facilmente che N è un sottinsieme proprio di Z (N Ì Z).

Per i numeri relativi, quindi, le operazioni interne sono l’addizione, la moltiplicazione e la sottrazione:

Infatti, se applichiamo l’addizione, la moltiplicazione e la sottrazione su qualsiasi coppia di numeri interi, il risultato sarà sempre un numero intero.

La divisione non è un’operazione interna di Z; non sempre se facciamo la divisione di due numeri interi otteniamo un numero intero, ad esempio la divisione 3 ¸ 2 non ha un risultato intero.

Insieme Q dei numeri razionali

I numeri razionali sono nati per dare un risultato a qualsiasi divisione (eccetto la divisione per 0) tra due numeri interi. Sono conosciuti anche come numeri frazionari e si possono esprimere quindi come una frazione tra due numeri interi:

Il numero che si trova sopra la linea di frazione, in questo caso “a” , viene definito numeratore, mentre il numero che si trova sotto la linea di frazione, in questo caso “b”, denominatore.

Esiste un limite nell’esistenza della frazione e cioè che il denominatore non può mai essere uguale a zero.

Il simbolo utilizzato per indicare l’insieme dei numeri razionali è Q. Rappresentazione grafica di Q:

Si intuisce facilmente la relazione N Ì Z Ì Q.

L’insieme dei numeri razionali contiene in totale: i numeri naturali, i numeri relativi, i numeri decimali finiti, i numeri decimali periodici finiti, infatti tutti questi tipi di numeri si possono esprimere attraverso una frazione:

Per i numeri naturali N e quelli relativi Z è sottinteso un denominatore pari ad 1:

mentre per rappresentare i numeri decimali come frazioni esistono due regolette molto semplici:

Regola per i numeri decimali finiti non periodici

Si scrivono al numeratore tutte le cifre del numero decimale per intero senza la virgola e al denominatore un 1 con tanti 0 per quante sono le cifre dopo la virgola. Vediamo alcuni esempi:

Regola per i numeri decimali finiti periodici

Si scrivono al numeratore tutte le cifre del numero decimale per intero senza la virgola e si sottrae a questo numero il numero composto dalle sole cifre non periodiche, mentre al denominatore si scrivono tanti 9 per quante sono le cifre periodiche e tanti 0 per quante sono le cifre non periodiche dopo la virgola.

Vediamo alcuni esempi:

Per i numeri relativi, quindi, le operazioni interne sono l’addizione, la moltiplicazione, la sottrazione e la divisione:

Nel caso dei numeri razionali, l’operazione non ben definita che in alcuni casi non si può eseguire è la radice quadrata, infatti, in alcuni casi il risultato della radice quadrata è un numero decimale infinito, ad esempio:

Per chi vuole approfondire esiste il teorema della non completezza di Q che dimostra la non appartenenza a Q della radice quadrata di 2.

Insieme R dei numeri reali

I numeri reali, sono nati per dare un risultato alle radici quadrate che hanno come risultato i numeri decimali infiniti detti numeri irrazionali, ed è l’unico campo archimedeo completo e ordinato.

Il simbolo utilizzato per indicare l’insieme dei numeri reali è R.

Rappresentazione grafica di R:

Si intuisce facilmente la relazione N Ì Z Ì Q Ì R.

L’insieme dei numeri reali è costituito dai numeri razionali unito ai numeri irrazionali (numeri decimali infiniti che sono il risultato delle radici quadrate di numeri che non sono quadrati perfetti). Come per i numeri razionali, per i numeri reali le operazioni interne sono l’addizione, la moltiplicazione, la sottrazione e la divisione:

Anche se più completo dei numeri razionali, nell’insieme dei numeri reali la radice quadrata non è ancora ben definita. Infatti, in questo insieme non valgono le radici quadrate con radicando negativo. (Radicando = argomento della radice ossia il numero sotto radice), ad esempio la radice quadrata di -3

Insieme C dei numeri complessi

A differenza del nome, i numeri complessi non sono difficili.

I numeri complessi sono quei numeri costituiti dalla somma di due parti:

• parte reale
• parte immaginaria

 numero complesso = parte reale + parte immaginaria

La parte reale, come dice il nome stesso, è semplicemente un numero reale, mentre la parte immaginaria nasce dalla necessità di definire la radice quadrata di un numero negativo.

II quadrato di qualsiasi numero (anche negativo) darebbe come risultato un numero positivo, pertanto si è ricorso al numero immaginario i che altro non è che la radice quadrata di -1.

Grazie al numero immaginario i può finalmente esistere un quadrato negativo:

L'invenzione del numero immaginario quindi ci permette di calcolare le radici quadrate di numeri negativi: ogni radice di numero negativo si può trasformare in i che moltiplica la radice del numero positivo. E cioè:

infatti

Ad esempio

Il numero complesso, quindi ha una struttura del tipo “z = a + ib”, dove “a” è la parte reale e “i×b” è la parte immaginaria. (I due numeri “a” e “b” sono reali).

Rappresentazione grafica di C:

Si intuisce facilmente la relazione N Ì Z Ì Q Ì R Ì C, infatti, se prendiamo tutti i numeri complessi per cui la b = 0 otteniamo proprio i numeri reali.